پاسخ فعالیت صفحه 45 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ تشخیص تابع از روی نمودار پیکانی صفحه 45 ریاضی دهم انسانی سلام به دانش‌آموزان باهوش! **تابع** در نمودار پیکانی به این معناست که از **هر عضو مجموعه دامنه (مجموعه ورودی در سمت چپ) فقط یک پیکان خارج شده باشد.** ### نمودارها و تحلیل: 1. **بالا سمت راست (اعداد ۲ و ۳ و ۱ به ۱-، ۲-، ۳ و ...):** * **تحلیل:** از هر عضو دامنه (۱، ۲، ۳) فقط یک پیکان خارج شده است (حتی اگر پیکان‌ها به یک نقطه وارد شده باشند یا به نقطه‌ای وارد نشوند). * **پاسخ:** **تابع است.** * **زیرا:** از هر عضو مجموعه‌ی ورودی (دامنه) دقیقاً یک پیکان خارج شده است. 2. **بالا سمت چپ (دانش‌آموزان به نمرات):** * **تحلیل:** از هر دانش‌آموز (مریم، نرگس، حمیده، سارا) فقط یک پیکان خارج شده است (هر نفر فقط یک نمره‌ی فیزیک دارد). * **پاسخ:** **تابع است.** * **زیرا:** از هر عضو مجموعه‌ی ورودی (دانش‌آموز) دقیقاً یک پیکان خارج شده است (یک ورودی، یک خروجی). 3. **پایین سمت چپ (اعداد ۱، ۲، ۳، ۴ به ۱، ۲، ۳، ۴، ۵):** * **تحلیل:** از هر عضو دامنه (۱، ۲، ۳، ۴) فقط یک پیکان خارج شده است. برخی اعضای هم‌دامنه ($athbf{B}$) خالی مانده‌اند (مثل ۵)، که مشکلی ایجاد نمی‌کند. * **پاسخ:** **تابع است.** * **زیرا:** هر عضو مجموعه‌ی ورودی دقیقاً یک خروجی دارد. 4. **پایین سمت راست (اعداد ۲، ۳، -۲، ۰ به ۴، ۱، ۵):** * **تحلیل:** از عدد $\mathbf{0}$ در مجموعه‌ی ورودی **دو پیکان** خارج شده است (یکی به $\mathbf{1}$ و دیگری به $\mathbf{5}$). * **پاسخ:** **تابع نیست.** * **زیرا:** از عضو $\mathbf{0}$ در مجموعه‌ی ورودی، دو خروجی ($athbf{1}$ و $\mathbf{5}$) به دست آمده است. این با تعریف تابع در تناقض است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ تشخیص تابع از روی مجموعه زوج مرتب‌ها صفحه 45 ریاضی دهم انسانی در نمایش **زوج مرتب‌ها ($athbf{(x, y)}$)**، تابع زمانی است که **هیچ دو زوج مرتبی، مؤلفه‌ی اول یکسان** ($\mathbf{x}$ یکسان) با **مؤلفه‌های دوم متفاوت** ($\mathbf{y}$ متفاوت) نداشته باشند. ### تحلیل مجموعه‌ها: 1. **الف) $\mathbf{F}$:** $\mathbf{\{(2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3)\}}$ * **تحلیل:** مؤلفه‌های اول ($athbf{2, 3, 4, 5}$) تکراری نیستند. هر ورودی فقط یک خروجی دارد (حتی اگر خروجی‌ها یکسان باشند). * **پاسخ:** **تابع است.** 2. **ب) $\mathbf{G}$:** $\mathbf{\{(4, 1), (2, -1), (1, -1), (4, 2)\}}$ * **تحلیل:** مؤلفه‌ی اول $\mathbf{4}$ تکرار شده و دو خروجی متفاوت دارد: $\mathbf{(4, 1)}$ و $\mathbf{(4, 2)}$. * **پاسخ:** **تابع نیست.** (زیرا ورودی $\mathbf{4}$ به دو خروجی $\mathbf{1}$ و $\mathbf{2}$ رفته است.) 3. **پ) $\mathbf{H}$:** $\mathbf{\{(2, 3), (2, 3)\}}$ * **تحلیل:** مؤلفه $\mathbf{2}$ تکرار شده است، اما خروجی آن نیز $\mathbf{3}$ است. در واقع، این مجموعه همان $\mathbf{\{(2, 3)\}}$. * **پاسخ:** **تابع است.** (زیرا ورودی $\mathbf{2}$ فقط یک خروجی $\mathbf{3}$ دارد.) 4. **ت) $\mathbf{I}$:** $\mathbf{\{(3, 3)\}}$. * **تحلیل:** فقط یک زوج مرتب دارد. ورودی $\mathbf{3}$ فقط به خروجی $\mathbf{3}$ متصل شده است. * **پاسخ:** **تابع است.** 5. **ث) $\mathbf{J}$:** $\mathbf{\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 4)\}}$ * **تحلیل:** مؤلفه‌ی اول $\mathbf{2}$ تکرار شده و دو خروجی متفاوت دارد: $\mathbf{(2, 2)}$ و $\mathbf{(2, 4)}$. * **پاسخ:** **تابع نیست.** (زیرا ورودی $\mathbf{2}$ به دو خروجی $\mathbf{2}$ و $\mathbf{4}$ رفته است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ تشخیص تابع از روی نمودار مختصاتی صفحه 45 ریاضی دهم انسانی تشخیص تابع از روی نمودار مختصاتی، با **آزمون خط عمودی** (Vertical Line Test) انجام می‌شود. اگر هیچ خط عمودی‌ای نباشد که نمودار را در **بیش از یک نقطه** قطع کند، آن نمودار نمایش یک تابع است. ### تحلیل نمودارها: 1. **بالا سمت چپ (نقاط گسسته):** * **تحلیل:** خط عمودی‌ای (مثلاً در $\mathbf{x \approx -1}$) وجود دارد که نمودار را در **دو نقطه** قطع می‌کند. * **پاسخ:** **تابع نیست.** (زیرا یک ورودی، دو خروجی دارد.) 2. **بالا وسط (نقاط گسسته):** * **تحلیل:** در این نمودار، هیچ خط عمودی‌ای وجود ندارد که بیش از یک نقطه را قطع کند. نقاطی که روی خط $\mathbf{x=0}$ هستند، همگی در ارتفاع متفاوتی قرار دارند. * **پاسخ:** **تابع است.** (زیرا هر ورودی $\mathbf{x}$ فقط یک خروجی $\mathbf{y}$ دارد.) 3. **بالا سمت راست (نقاط گسسته):** * **تحلیل:** خط عمودی‌ای (مثلاً در $\mathbf{x \approx 2}$) وجود دارد که نمودار را در **دو نقطه** قطع می‌کند. * **پاسخ:** **تابع نیست.** (زیرا ورودی $\mathbf{x=2}$ دو خروجی متفاوت دارد.) 4. **پایین سمت چپ (نقاط گسسته):** * **تحلیل:** خط عمودی‌ای (مثلاً در $\mathbf{x \approx 1}$) وجود دارد که نمودار را در **دو نقطه** قطع می‌کند. * **پاسخ:** **تابع نیست.** (زیرا یک ورودی، دو خروجی دارد.) 5. **پایین وسط (نمودار سهمی روبه‌بالا):** * **تحلیل:** هر خط عمودی، نمودار سهمی را **حداکثر در یک نقطه** قطع می‌کند (مانند $\mathbf{y=x^2}$). * **پاسخ:** **تابع است.** (زیرا هر ورودی $\mathbf{x}$ فقط یک خروجی $\mathbf{y}$ دارد.) 6. **پایین سمت راست (نمودار نیم‌دایره):** * **تحلیل:** تقریباً تمام خطوط عمودی در دامنه‌ی تعریف شده، نمودار را در **دو نقطه** قطع می‌کنند. * **پاسخ:** **تابع نیست.** (زیرا یک ورودی $\mathbf{x}$ دو خروجی $\mathbf{y}$ دارد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ تشخیص تابع از روی روابط کلامی صفحه 45 ریاضی دهم انسانی در روابط کلامی، **دامنه** مجموعه‌ی اول و **هم‌دامنه** مجموعه‌ی دوم است. برای تابع بودن، هر عضو دامنه باید **فقط یک خروجی** داشته باشد. ### الف) شهر به سوغات * **رابطه:** $\mathbf{\text{شهر} \to \text{سوغاتی}}$ * **تحلیل:** آیا یک شهر می‌تواند **بیش از یک سوغاتی اصلی** داشته باشد؟ بله! (مثلاً اصفهان: گز و پولکی و قلمکار؛ تبریز: باقلوا و فرش). در این حالت، یک ورودی (شهر) بیش از یک خروجی (سوغاتی) دارد. * **پاسخ:** **تابع نیست.** * **دلیل:** یک شهر می‌تواند چند سوغاتی اصلی داشته باشد، یعنی یک ورودی بیش از یک خروجی دارد. ### ب) فرد به روز تولد * **رابطه:** $\mathbf{\text{فرد} \to \text{روز تولد}}$ * **تحلیل:** آیا یک فرد می‌تواند **دو روز تولد** متفاوت داشته باشد؟ خیر، هر فرد فقط یک تاریخ تولد دارد. * **پاسخ:** **تابع است.** * **دلیل:** به هر فرد (ورودی) دقیقاً یک روز تولد (خروجی) نسبت داده می‌شود. ### پ) شهر به نماینده مجلس * **رابطه:** $\mathbf{\text{شهر} \to \text{نماینده مجلس}}$ * **تحلیل:** آیا یک شهر می‌تواند **چند نماینده** در مجلس داشته باشد؟ بله! (مثلاً شهرهای بزرگ چندین نماینده دارند.) در این حالت، یک ورودی (شهر) بیش از یک خروجی (نماینده) دارد. * **پاسخ:** **تابع نیست.** * **دلیل:** برخی شهرهای بزرگ بیش از یک نماینده در مجلس شورای اسلامی دارند، یعنی یک ورودی بیش از یک خروجی دارد. ### ت) مسلمان به قبله * **رابطه:** $\mathbf{\text{مسلمان} \to \text{قبله}}$ * **تحلیل:** آیا یک مسلمان می‌تواند **دو قبله** داشته باشد؟ خیر، قبله‌ی تمام مسلمانان (کعبه) یکی است (اگرچه دو مسلمان می‌توانند یک قبله مشترک داشته باشند که مجاز است). * **پاسخ:** **تابع است.** * **دلیل:** به هر مسلمان (ورودی)، تنها یک قبله (خروجی) نسبت داده می‌شود.